Curvas planas de largura constante : Teorema de Barbier e a função sombra.
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Date
2018
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Abstract
Já imaginou uma bicicleta cujas rodas não tivessem o formato de um círculo? Neste
trabalho estudaremos os conjuntos convexos, mais especificamente conjuntos que possuem a
mesma característica do círculo, largura constante. Mostraremos que existem diversas curvas
que podem substituir o círculo em algumas situações, por exemplo, em uma roda de bicicleta.
Os conjuntos de largura constante estão presentes em várias áreas da engenharia, na arquitetura
e no designer de diversos produtos. O Triângulo de Reuleuax é o mais comum desses,
um exemplo de sua aplicação é uma broca que gera um “furo quadrado”. Ao longo do trabalho
demonstraremos, de duas formas diferentes, o Teorema de Barbier o qual afirma que todo conjunto
de largura constante m tem perímetro pm, e veremos que a área destes conjuntos será
sempre maior que a do Triângulo de Reuleaux e menor que a do círculo. Buscamos conhecer
o formato dos conjuntos convexos através da sombra gerada por eles. A sombra, aqui considerada,
é gerada por um foco de luz, distante o suficiente para que os raios de luz viajem na
mesma direção. Baseamo-nos nas ideias de Charles L. Epstein [10] sobre reconstrução de imagens
médicas, como no raio X, que nada mais é do que a reconstrução de um objeto através da
sombra gerada por ele. O objetivo principal deste trabalho é chegar à função sombra e verificar
se podemos utilizá-la para reconstruir o objeto que a gerou. Algo nada intuitivo é mostrar que
curvas de largura constante determinam funções sombra diferentes, mas que na reconstrução
não determinam exatamente a mesma curva de origem. Para isso conceitos importantes da Geometria
Diferencial, como a parametrização e a curvatura de curvas planas, serviram de base
para os estudos deste trabalho.
Description
Programa de Pós-Graduação em Matemática em Rede Nacional. Departamento de Matemática, Instituto de Ciências Exatas e Biológicas, Universidade Federal de Ouro Preto.
Keywords
Curvas, Triângulo, Geometria diferencial, Sombras e sombreados
Citation
CRISTE, Marília Gomes. Curvas planas de largura constante : Teorema de Barbier e a função sombra. 2018. 77 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) – Instituto de Ciências Exatas e Biológicas, Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto, 2018.