PROFMAT - Mestrado Profissional (Dissertações)

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Fórmula de Euller e aplicações.
(2022) Souza, Sérgio Costa e; Figueiredo, Geraldo Cesar; Souza, Gil Fidelix de; Figueiredo, Geraldo Cesar; Souza, Gil Fidelix de; Martins, Eder Marinho; Muniz Junior, Justino; Almeida, Vitor Luiz de
Neste trabalho estudaremos a Formula de Euler sob a luz da Teoria dos Grafos e apresentaremos algumas de suas aplicações. A teoria de grafos simplifica os cálculos e, aliada a conceitos básicos de aritmética nos permite obter resultados interessantes como consequência da formula de Euler, dentre eles estão: O Teorema de Sylvester-Gallai, a existência de linhas monocromáticas e o Teorema de Pick.
A utilização do Geogebra como recurso didático para melhor compreensão de algumas propriedades geométricas : um estudo com docentes em Matemática no período de pandemia.
(2022) Reis, Graziele Gabriele Valadares; Dias, Juliano Soares Amaral; Dias, Juliano Soares Amaral; Catharino, Antonio Marcos da Silva; Torisu, Edmilson Minoru; Silva, Antônio Marcos Ferreira da
Esse estudo tem por objetivo apresentar propostas de atividades para professores do ensino básico, estudando Retas Paralelas Cortadas por Transversais, Polígonos, apresentação e demonstração do Teorema de Pitot, Teorema de Pitolomeu, casos de Semelhança de Triângulos e o Teorema de Tales. As cinco primeiras atividades foram apresentadas a um grupo de professores de escolas públicas que lecionam matemática para a rede de Ensino Estadual de Educação de MG, na cidade de Nova Lima e também para a rede de Ensino Municipal da cidade de Belo Horizonte. Já as duas últimas foram apresentadas aos professores estudantes do curso de pós-graduação PROFMAT – Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional do Campus UFOP. As atividades geram uma visão mais ampla e rigorosa da geometria, utilizando o software de geometria dinâmica GeoGebra, evidenciando a importância de se utilizar as TDIC no ensino da Matemática.
Trajetórias periódicas em bilhares poligonais.
(2022) Carvalho, Mônica Alves de; Ferreira, Geraldo César Gonçalves; Souza, Gil Fidelix de; Ferreira, Geraldo César Gonçalves; Souza, Gil Fidelix de; Dias, Juliano Soares Amaral; Ottoni, José Eloy; Pereira, Rafael da Costa
Esse trabalho apresenta um de estudo para a existência de trajetórias periódicas em bilhares poligonais convexos. Nos quadriláteros estudados utilizaremos como recurso o desdobramento do plano para simplificar as trajetórias. Em triângulos encontraremos trajetórias periódicas através da solução do problema de Fagnano. Iremos estender tal resultado para polígonos convexos de n lados.
Torre de potência infinita.
(2022) Santos, Janio Lucio Talini dos; Ferreira, Geraldo César Gonçalves; Souza, Gil Fidelix de; Ferreira, Geraldo César Gonçalves; Souza, Gil Fidelix de; Almeida, Vitor Luiz de; Rocha, Alexandre Alvarenga; Ferreira, Wenderson Marques
Nesse trabalho e apresentada a função Torre de potência infinita, cuja altura e formada por uma sequência infinita de exponenciais. O objetivo desse trabalho é discutir o problema da convergência/divergência da função f(x). Ao final, é feito um estudo de uma possível origem da função torre de potência e como as pesquisas dos matemáticos Lambert, Euler e Lagrange foram essenciais para a construção dessa teoria, que levou à expansão em série da função LambertW, tão importante para o avanço da Matemática quanto de outras ciências.
Números normais : uma aplicação da Lei dos Grandes Números.
(2021) Lemos, Luciano Carlos de; Ribas, Sávio; Ribas, Sávio; Couto, Rodrigo Geraldo do; Gurgel, Luana Amaral; Avelar, Danilo Vilela
Neste trabalho, estudamos os números normais e pseudoaleatórios como uma aplicação da Lei dos Grandes Números. Para isso, primeiramente construímos toda a base teórica de probabilidade com o objetivo de fundamentar a Lei dos Grandes Números, um teorema da teoria da probabilidade que estabelece, sob certas hipóteses, que a média aritmética dos resultados observados através da realização da mesma experiência muitas vezes aproxima-se da esperança da variável aleatória. Em seguida, vemos que um problema fundamental na Matemática, na Estatística e na Computação é a geração de números aleatórios, que possuem diversas aplicações práticas, e ainda, que os melhores candidatos a números aleatórios são os números absolutamente normais, mas ainda não os conhecemos. Sendo assim, devemos nos contentar com números pseudoaleatórios, que são números “aparentemente” aleatórios, mas que são gerados de uma forma determinística. Na sequência apresentamos o problema de Monty-Hall, também conhecido popularmente como problema dos bodes, que foi proposto pela primeira vez em um programa de auditório nos EUA. Através de simulações e usando a Lei dos Grandes Números conseguimos conjecturar um resultado correto para esse problema. Atividades didáticas envolvendo tais resultados também foram abordadas e sua aplicação em sala de aula, com estudantes de Ensino Médio de uma escola de Manhumirim-MG e também de graduação em Matemática da UFOP, são descritas. Os dados foram coletados por meio de observações durante a aplicação da atividade e através das respostas dadas aos questionários. Os resultados mostram que os estudantes podem, em muitos casos, ter uma visão intuitiva do problema que os conduza ao erro na escolha da melhor estratégia de resolução. Daí percebemos que atividades como essas podem contribuir significativamente para o processo de aprendizagem dos estudantes.
O Crivo de Brun para primos gêmeos.
(2021) Costa, Giovanne Drumond; Ribas, Sávio; Ribas, Sávio; Moriya, Bhavinkumar Kishor Sinh; Dias, Juliano Soares Amaral
Um número primo p é dito primo gêmeo se p+2 também é primo. Conjectura-se que existem infinitos primos gêmeos. O objetivo dessa dissertação é mostrar que a soma dos inversos dos primos gêmeos converge, enquanto a soma dos inversos de todos os primos diverge (também vamos provar isso usando a função zeta de Riemann). Tal fato pode implicar duas coisas: ou existem finitos primos gêmeos, ou os primos gêmeos são infinitos porém muito escassos na reta real. A técnica utilizada para demonstrar esse resultado é o crivo de Brun, que permite obter uma cota superior para o número de primos gêmeos até x. Para obter tais cotas, é necessário apresentar diversos resultados anteriores, como o princípio da inclusãoexclusão, as funções multiplicativas (em particular, a função de Möbius), as duas primeiras fórmulas de Mertens e o Teorema de Chebyshev. Vamos apresentar também uma caracterização dos primos gêmeos devida a Clement. A cota superior obtida implica diretamente o principal resultado dessa dissertação: a soma dos inversos dos primos gêmeos converge.
Sobre números escritos como soma de dois quadrados e uma atividade de ensino que relaciona ternos pitagóricos e números complexos.
(2021) Pereira, Elaine Veloso Fernandes; Ferreira, Wenderson Marques; Martins, Eder Marinho; Ferreira, Wenderson Marques; Martins, Eder Marinho; Cota, Ana Paula da Silva; Castro, Fábio Corrêa de; Coura, Flávia Cristina Figueiredo
Neste trabalho, estudamos os números que podem ser escritos como soma dos quadrados de dois números, exibindo as condições para que possam ser escritos de tal forma. Em seguida, observamos que se tivermos a 2 = b 2 + c 2 , com b e c naturais não nulos, além de termos uma representação não trivial de a 2 como soma de dois quadrados, também podemos associar a, b e c às medidas dos lados de um triângulo retângulo, obtendo um terno pitagórico. Posteriormente, passamos a abordar a relação entres números complexos e tais ternos, mostrando como utilizar tais números para provar que os ternos pitagóricos são infinitos. Atividades didáticas envolvendo tais resultados também foram abordadas e sua realização em sala de aula, com alunos de Ensino Médio de uma escola pública de Coronel Fabriciano-MG e também de graduação em matemática da UFOP, são descritas. Os dados foram coletados por meio de observações durante a realização da atividade e através das respostas dadas aos questionários. Os resultados mostram que os alunos, tanto do Ensino Médio quanto da graduação em Matemática, não conheciam a relação abordada entre números complexos e ternos pitagóricos, e que atividades investigativas como essa, usando o aplicativo GeoGebra, são bem avaliadas nos dois níveis de ensino, podendo contribuir significativamente para o processo de aprendizagem.
A equação de Pitágoras módulo primo.
(2021) Silva, Denise Ramos da; Ribas, Sávio; Ribas, Sávio; Reis, Lucas da Silva; Oliveira, Edney Augusto Jesus de
As triplas de números inteiros positivos (x, y, z) que satisfazem a equação de Pitágoras x 2 + y 2 = z 2 são chamadas de triplas pitagóricas. Por outro lado, para n ≥ 3, a equação x n + y n = z n é conhecida como equação de Fermat. Nessa dissertação, vamos descrever todas as triplas pitagóricas e mostrar que a equação de Fermat com n = 4 não tem solução. Contudo, o objetivo principal desse trabalho é calcular o número de soluções da equação de Pitágoras módulo um primo p, isto é, x 2 + y 2 ≡ z 2 (mod p). Vamos provar que, embora tomando caminhos distintos para os casos p = 2, p ≡ 1 (mod 4) e p ≡ 3 (mod 4), o número de soluções é sempre p 2 . O principal argumento usado é o símbolo de Legendre. Para isso, vamos obter diversas reduções que simplificam o problema. Vamos também discutir alguns problemas relacionados e mostrar como nossa solução pode ser generalizada.
Centroides, Teorema de Pappus-Guldin e o cálculo de volume de sólidos de revolução : uma proposta para futuros professores do Ensino Médio
(2020) Cardoso, Imaculada Coelho da Silva; Martins, Eder Marinho; Ferreira, Wenderson Marques; Martins, Eder Marinho; Ferreira, Wenderson Marques; Fonseca, Alexander Fernandes da; Ferreira, Geraldo César Gonçalves
O trabalho apresenta uma proposta para calcular o volume de quaisquer sólidos de revolução de uma maneira compreensível para os alunos do Ensino Médio. A proposta visa desenvolver uma atividade baseada no Teorema de Pappus-Guldin e foi trabalhada com os graduandos de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal de Ouro Preto. O Teorema de Pappus-Guldin é apresentado abordando seus aspectos históricos e algumas aplicações para cálculo de volume. Para tal, foi necessário realizar um estudo sobre centroide de várias figuras planas, usando alguns conceitos presentes nos livros de Cálculo Diferencial e Integral. O software GeoGebra foi utilizado constituindo-se em uma ferramenta fundamental para o desenvolvimento da proposta didática, ilustrando a importância de se utilizar tecnologias digitais no ensino da Matemática.
Isometrias na reta e no plano.
(2020) Costa, Deyvison Eduardo Valadares da; Dias, Juliano Soares Amaral; Oliveira, Monique Rafaella Anunciação de; Dias, Juliano Soares Amaral; Oliveira, Monique Rafaella Anunciação de; Almeida, Vitor Luiz de; Ferreira, Geraldo César Gonçalves
O objetivo do nosso trabalho é fazer um estudo sobre as isometrias na reta e no plano. Os tipos de isometrias que estudamos na reta foram a translação e a reflexão. Já no plano, estudamos a translação, a rotação, a reflexão e a reflexão com deslizamento. Apresentamos as definições, os principais teoremas e algumas aplicações referentes a cada isometria na reta e no plano. Além disso, apresentamos a classificação das isometrias, sendo próprias e impróprias. Apresentamos também dois teoremas importantes, sendo um aplicado na reta e o outro aplicado no plano. O primeiro teorema garante a existência de apenas dois tipos de isometrias na reta além da função identidade, e o segundo teorema garante a existência de apenas quatro tipos de isometrias no plano além da função identidade. Para finalizar, sugerimos uma sequência didática, com o uso do software matemático GeoGebra, para consolidação do conteúdo estudado em sala de aula sobre isometrias na reta e no plano
Aplicações dos números complexos à geometria analítica plana.
(2019) Cruz, Breno Arcanjo Fernandes da; Souza, Gil Fidelix de; Ferreira, Geraldo César Gonçalves; Souza, Gil Fidelix de; Ferreira, Geraldo César Gonçalves; Hoyos, Mariana Garabini Cornelissen; Couto, Rodrigo Geraldo do; Silva, Wanderson Costa e
A proposta deste trabalho e fazer uso da boa estrutura do conjunto dos números complexos, essencialmente de sua geometria, para promover o estudo de objetos e a obtenção de resultados da Geometria Analítica Plana. A boa estrutura do conjunto dos números complexos permite o estudo de resultados clássicos, por exemplo os Teoremas de Ceva, Menelaus e Desargues. O primeiro Teorema estabelece condições necessárias e suficientes para que três cevianas sejam concorrentes, o segundo resultado estabelece condições para a colinearidade de um conjunto de pontos ou para a concorrência de um conjunto de segmentos e o terceiro resultado refere-se a triângulos projetivos e pode ser visto como uma consequência dos dois primeiros resultados.
Lápis, papel, GeoGebra e a Fórmula de Bháskara : uma experiência com alunos do nono ano.
(2019) Conceição, Thaynara Menezes Gandra; Martins, Eder Marinho; Ferreira, Wenderson Marques; Martins, Eder Marinho; Ferreira, Wenderson Marques; Valério, Viviane Pardini; Souza, Gil Fidelix de; Torisu, Edmilson Minoru
As tecnologias digitais estão presentes no cotidiano dos alunos e isso muda a forma como eles se relacionam e aprendem. Por isso, faz-se necessária uma mudança nas práticas pedagógicas, sobretudo nas aulas de matemática. Esse estudo teve por objetivo apresentar propostas de atividades investigativas, envolvendo o conteúdo de funções quadráticas e demonstrar a fórmula de Bháskara, utilizando o software GeoGebra como recurso didático. Uma das atividades sugeridas foi aplicada em uma escola estadual da cidade de Ouro Preto - MG e em uma escola privada da cidade de Belo Horizonte - MG. Os dados foram coletados por meio de observações realizadas durante a aplicação e respostas dadas a um questionário. Os resultados mostram que os discentes compreenderam melhor a fórmula de Bháskara e o gráfico de uma função quadrática, e que a atividade investigativa pode ajudar a motivar o aluno e a aprimorar sua capacidade de argumentação
Aplicações de grafos no ensino médio.
(2019) Ribas, Giovani Batista; Oliveira, Edney Augusto Jesus de; Oliveira, Edney Augusto Jesus de; Silva, Gheyza Ferreira da; Pinto, Thiago Morais
Este trabalho tem como foco central a utilização de grafos no ensino-aprendizado, mais especificamente no ensino médio. Para tal, é feita uma investigação sucinta sobre a Teoria de Grafos contendo um breve apanhado histórico seguido de um aporte teórico introdutório. Além disso, é apresentada uma correlação entre grafos e tópicos de análise combinatória. Por fim, são sugeridas três atividades práticas para exemplificar o seu uso, sendo a primeira atividade um plano de estudos de análise combinatória utilizando os grafos como facilitadores visuais. As outras duas atividades, de aspecto mais prático, apresentam uma forma mais efetiva de atrair a participação dos alunos para o estudo desta teoria.
Coberturas de tabuleiros : o problema do diamante de Aztec.
(2019) Praxedes, Washington Mariano; Couto, Rodrigo Geraldo do; Couto, Rodrigo Geraldo do; Almeida, Alexandre Celestino Leite de; Alves, Rogério Gomes
O objetivo deste trabalho é tratar de problemas gerais de coberturas de tabuleiros por poliminós, tendo como foco a análise da cobertura de uma região plana específica, denominada diamante de Aztec. Tal análise irá propor o estabelecimento da quantidade de coberturas distintas por dominós possíveis de serem realizadas nesta região. Além das ideias relacionadas aos problemas de cobertura de tabuleiros, o resultado é obtido a partir da utilização de estratégias bastante elegantes e engenhosas, tendo os conceitos da Teoria dos Grafos como ferramentas essenciais para modelar e encontrar uma relação de recorrência para resolver o problema. Nesse contexto, as teorias apresentadas tendem reforçar a justificativa de que o tema de Coberturas de Tabuleiros e demais regiões planas é um campo altamente rico e fértil para o desenvolvimento de projetos de oficinas de estudos de conteúdos da Matemática.
A integral de Rieman generalizada.
(2019) Santos, Wagner Luiz Moreira dos; Xavier, Sebastião Martins; Santos, Thiago Fontes; Xavier, Sebastião Martins; Santos, Thiago Fontes; Moreira, Jussara de Matos; Couto, Rodrigo Geraldo do
Neste trabalho apresentaremos uma breve introdução sobre a história da evolução no conceito de integral e resultados importantes sobre a Teoria de Integração. Introduziremos a definição formal do conceito de Integral, segundo Riemann e suas propriedades, além da definição de funções Riemann Integráveis. Posteriormente, mostraremos a definição e propriedades da integral de Darboux, extendendo, essa ideia ao critério de integrabilidade de Lebesgue e finalizando com o conceito de de integral generalizada de Riemann. Neste trabalho apresentaremos integral de Riemann generalizada que nos permitirá, de forma alternativa a usual, abordar o conceito de integral de Lebesgue. Nesta apresentação não necessitamos da construção da teoria de medida, ou seja, trata-se de uma abordagem diferente daquela que se estuda nos cursos de cálculo e análise.
Um estudo sobre a pavimentação do plano euclidiano.
(2019) Soares, Henrique de Oliveira; Santos, Thiago Fontes; Xavier, Sebastião Martins; Santos, Thiago Fontes; Xavier, Sebastião Martins; Moreira, Jussara de Matos; Couto, Rodrigo Geraldo do
O objetivo deste trabalho é demonstrar o seguinte teorema: "Dados α e β números reais positivos é impossível pavimentar o plano com qualquer coleção de polígonos convexos, cada polígono com 7 ou mais lados e área maior que α e perímetro menor que β". Para isso, precisaremos apresentar alguns conceitos básicos sobre os polígonos e as possíveis pavimentações do plano Euclidiano. Utilizaremos também a desigualdade isoperimétrica como uma ferramenta para demonstrar esse teorema. Estudaremos os diferentes tipos de pavimentação do plano, apresentaremos os conceitos de pavimentação ideal e parcial, iremos mostrar que apenas 3 polígonos regulares pavimentam o plano, estudaremos um pouco sobre os polígonos não regulares que pavimentam o plano e mostraremos algumas curiosidades sobre eles. A teoria envolvida no estudo sobre a pavimentação do plano é muito rica e contribuirá enormemente para a visão e a consolidação de conceitos geométricos. Utilizaremos alguns conceitos de cálculo diferencial afim de compreender e demonstrar o principal teorema, posteriormente utilizaremos desse teorema para demonstrar aspectos da pavimentação do plano. Ao final, iremos propor uma atividade com o intuito de relembrar conceitos geométricos e fornecer curiosidades relacionadas à pavimentação do plano.
Bilhares em curvas constituídas por arcos elípticos.
(2019) Luz, Cristian Reis da; Ferreira, Geraldo César Gonçalves; Souza, Gil Fidelix de; Souza, Gil Fidelix de; Ferreira, Geraldo César Gonçalves; Ottoni, José Eloy; Dias, Juliano Soares Amaral
Elipses são curvas que aparecem com frequência no nosso dia-a-dia. Por exemplo, quando você quer cortar fatias não-circulares de um salame, é comum que utilize certa inclinação na faca em relação ao plano; as fatias obtidas usando esse procedimento têm a forma de uma elipse. Por outro lado, se quiser observar a órbita dos planetas ao redor do Sol, notará, como o fez J. Kepler no início do século 17, que eles se movem segundo elipses com o Sol localizado em um dos focos. Entre as inúmeras aplicações da elipse, talvez a mais curiosa de todas se deva a Lewis Carroll, autor de "Alice no País das Maravilhas", que imaginou uma mesa de bilhar cuja parede lateral fosse elíptica, e não retangular. Na mesa de Carroll, colocando uma bola em um dos focos da elipse e atirando-a para uma direção qualquer com força suficiente, ela sempre irá acertar uma bola colocada no outro foco da mesa. Em geral, se supormos que a bola se mova sem atrito mostra-se que a trajetória percorrida pela bola pode ser classificada em três tipos: Sempre passa pelos focos, sempre passa exterior aos segmentos unindo os focos, sempre passa interior ao segmento unindo os focos. Fixado um polígono convexo de K lados, esticamos um laço de comprimento L ao redor deste até um ponto P e movemos este ponto ao redor do polígono. Este procedimento é denominado “construção do jardineiro”, ou “método das cordas”. Obviamente a curva obtida por essa construção será constituída por arcos de elipse. Estudaremos algumas propriedades destas curvas em função do parâmetro L e mostraremos que também neste caso a influência dos focos não pode ser ignorada e nos permitirá classificar as trajetórias em três tipos, sendo estas: Focais, exterior e interior.
O Teorema de Sarkoviskii e seu recíproco.
(2019) Santana, Gilberto de Oliveira; Ferreira, Geraldo César Gonçalves; Ferreira, Geraldo César Gonçalves; Santos, Luciano Coutinho dos; Ferreira, Wanderson Marques
O objetivo principal desta dissertação é demonstrar o Teorema de Sarkovskii e seu recíproco. Este estudo apresenta conceitos de composição de funções e grafos além de definir elementos básicos da teoria de Sistemas Dinâmicos. O Teorema do Valor Intermediário é uma ferramenta importante na prova do Teorema de Sarkovskii.
Órbitas periódicas de funções e o teorema de Li-Yorke : uma aplicação do teorema do valor intermediário.
(2018) Drumond, Mayara Beatriz Ferreira; Ferreira, Wenderson Marques; Martins, Eder Marinho; Ferreira, Wenderson Marques; Martins, Eder Marinho; Chaves, Márcio Fialho; Ferreira, Geraldo César Gonçalves
Neste trabalho estudaremos um resultado sobre funções contínuas em uma variável: o Teorema de Li-Yorke, que estabelece que, se uma função real para a qual a imagem do intervalo [a;b] é aplicada em si mesmo possuir um ponto de período três, então possuirá pontos periódicos de qualquer período inteiro positivo. Na demonstração, utilizaremos fortemente o Teorema do Valor Intermediário. No decorrer do trabalho, exploraremos, sempre que possível, a geometria dos resultados utilizados e apresentaremos exemplos que os ilustrem. Também apresentaremos uma atividade sobre rotações de um ponto numa circunferência, feita com o software GeoGebra, que pode ser feita com alunos do Ensino Médio.
Demonstrações no ensino médio.
(2018) Sena, Christiano Otávio de Rezende; Oliveira, Edney Augusto Jesus de; Dias, Juliano Soares Amaral; Oliveira, Edney Augusto Jesus de; Rocha, Alexandre Alvarenga; Moreira, Marcelo Henrique Simões
Esse trabalho é um estudo sobre as demonstrações de teoremas presentes no currículo do Ensino Médio. Revisamos os fundamentos da lógica matemática necessários para a construção de uma demonstração, bem como apresentamos alguns métodos utilizados. Além disso, fazemos um fichamento das demonstrações realizadas em três coleções de livros didáticos e finalizamos o trabalho com a apresentação de alguns teoremas tratados no Ensino Médio com suas respectivas demonstrações.

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