PROFMAT - Mestrado Profissional (Dissertações)

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Uma adaptação da Cifra de Hill para estudo de matrizes.
(2017) Brandão, Mariana Martins Durães; Oliveira, Edney Augusto Jesus de; Oliveira, Edney Augusto Jesus de; Pinto, Thiago Morais; Silva, Gheyza Ferreira da
Neste trabalho serão apresentados alguns dos principais resultados matemáticos a respeito de Aritmética Modular, dando ênfase às relações de equivalência e classes residuais. É feito também um estudo sobre matrizes e suas propriedades operacionais; a função determinante é construída e apresentada como instrumento para o cálculo de matrizes inversas. Tais temas são abordados com o intuito de fundamentar os processos matemáticos aplicados para funcionamento da Cifra de Hill. Essa cifra é um dos métodos de criptografia apresentados neste texto e ao qual daremos destaque. Para finalizar, foi desenvolvida uma atividade voltada para turmas do Ensino Médio e baseada na Cifra de Hill, cujo principal objetivo é despertar o interesse dos alunos para o estudo de matrizes.
Aplicações de grafos no ensino médio.
(2019) Ribas, Giovani Batista; Oliveira, Edney Augusto Jesus de; Oliveira, Edney Augusto Jesus de; Silva, Gheyza Ferreira da; Pinto, Thiago Morais
Este trabalho tem como foco central a utilização de grafos no ensino-aprendizado, mais especificamente no ensino médio. Para tal, é feita uma investigação sucinta sobre a Teoria de Grafos contendo um breve apanhado histórico seguido de um aporte teórico introdutório. Além disso, é apresentada uma correlação entre grafos e tópicos de análise combinatória. Por fim, são sugeridas três atividades práticas para exemplificar o seu uso, sendo a primeira atividade um plano de estudos de análise combinatória utilizando os grafos como facilitadores visuais. As outras duas atividades, de aspecto mais prático, apresentam uma forma mais efetiva de atrair a participação dos alunos para o estudo desta teoria.
Aplicações dos números complexos à geometria analítica plana.
(2019) Cruz, Breno Arcanjo Fernandes da; Souza, Gil Fidelix de; Ferreira, Geraldo César Gonçalves; Souza, Gil Fidelix de; Ferreira, Geraldo César Gonçalves; Hoyos, Mariana Garabini Cornelissen; Couto, Rodrigo Geraldo do; Silva, Wanderson Costa e
A proposta deste trabalho e fazer uso da boa estrutura do conjunto dos números complexos, essencialmente de sua geometria, para promover o estudo de objetos e a obtenção de resultados da Geometria Analítica Plana. A boa estrutura do conjunto dos números complexos permite o estudo de resultados clássicos, por exemplo os Teoremas de Ceva, Menelaus e Desargues. O primeiro Teorema estabelece condições necessárias e suficientes para que três cevianas sejam concorrentes, o segundo resultado estabelece condições para a colinearidade de um conjunto de pontos ou para a concorrência de um conjunto de segmentos e o terceiro resultado refere-se a triângulos projetivos e pode ser visto como uma consequência dos dois primeiros resultados.
Bilhares em curvas constituídas por arcos elípticos.
(2019) Luz, Cristian Reis da; Ferreira, Geraldo César Gonçalves; Souza, Gil Fidelix de; Souza, Gil Fidelix de; Ferreira, Geraldo César Gonçalves; Ottoni, José Eloy; Dias, Juliano Soares Amaral
Elipses são curvas que aparecem com frequência no nosso dia-a-dia. Por exemplo, quando você quer cortar fatias não-circulares de um salame, é comum que utilize certa inclinação na faca em relação ao plano; as fatias obtidas usando esse procedimento têm a forma de uma elipse. Por outro lado, se quiser observar a órbita dos planetas ao redor do Sol, notará, como o fez J. Kepler no início do século 17, que eles se movem segundo elipses com o Sol localizado em um dos focos. Entre as inúmeras aplicações da elipse, talvez a mais curiosa de todas se deva a Lewis Carroll, autor de "Alice no País das Maravilhas", que imaginou uma mesa de bilhar cuja parede lateral fosse elíptica, e não retangular. Na mesa de Carroll, colocando uma bola em um dos focos da elipse e atirando-a para uma direção qualquer com força suficiente, ela sempre irá acertar uma bola colocada no outro foco da mesa. Em geral, se supormos que a bola se mova sem atrito mostra-se que a trajetória percorrida pela bola pode ser classificada em três tipos: Sempre passa pelos focos, sempre passa exterior aos segmentos unindo os focos, sempre passa interior ao segmento unindo os focos. Fixado um polígono convexo de K lados, esticamos um laço de comprimento L ao redor deste até um ponto P e movemos este ponto ao redor do polígono. Este procedimento é denominado “construção do jardineiro”, ou “método das cordas”. Obviamente a curva obtida por essa construção será constituída por arcos de elipse. Estudaremos algumas propriedades destas curvas em função do parâmetro L e mostraremos que também neste caso a influência dos focos não pode ser ignorada e nos permitirá classificar as trajetórias em três tipos, sendo estas: Focais, exterior e interior.
Centroides, Teorema de Pappus-Guldin e o cálculo de volume de sólidos de revolução : uma proposta para futuros professores do Ensino Médio
(2020) Cardoso, Imaculada Coelho da Silva; Martins, Eder Marinho; Ferreira, Wenderson Marques; Martins, Eder Marinho; Ferreira, Wenderson Marques; Fonseca, Alexander Fernandes da; Ferreira, Geraldo César Gonçalves
O trabalho apresenta uma proposta para calcular o volume de quaisquer sólidos de revolução de uma maneira compreensível para os alunos do Ensino Médio. A proposta visa desenvolver uma atividade baseada no Teorema de Pappus-Guldin e foi trabalhada com os graduandos de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal de Ouro Preto. O Teorema de Pappus-Guldin é apresentado abordando seus aspectos históricos e algumas aplicações para cálculo de volume. Para tal, foi necessário realizar um estudo sobre centroide de várias figuras planas, usando alguns conceitos presentes nos livros de Cálculo Diferencial e Integral. O software GeoGebra foi utilizado constituindo-se em uma ferramenta fundamental para o desenvolvimento da proposta didática, ilustrando a importância de se utilizar tecnologias digitais no ensino da Matemática.
Coberturas de tabuleiros : o problema do diamante de Aztec.
(2019) Praxedes, Washington Mariano; Couto, Rodrigo Geraldo do; Couto, Rodrigo Geraldo do; Almeida, Alexandre Celestino Leite de; Alves, Rogério Gomes
O objetivo deste trabalho é tratar de problemas gerais de coberturas de tabuleiros por poliminós, tendo como foco a análise da cobertura de uma região plana específica, denominada diamante de Aztec. Tal análise irá propor o estabelecimento da quantidade de coberturas distintas por dominós possíveis de serem realizadas nesta região. Além das ideias relacionadas aos problemas de cobertura de tabuleiros, o resultado é obtido a partir da utilização de estratégias bastante elegantes e engenhosas, tendo os conceitos da Teoria dos Grafos como ferramentas essenciais para modelar e encontrar uma relação de recorrência para resolver o problema. Nesse contexto, as teorias apresentadas tendem reforçar a justificativa de que o tema de Coberturas de Tabuleiros e demais regiões planas é um campo altamente rico e fértil para o desenvolvimento de projetos de oficinas de estudos de conteúdos da Matemática.
Construções geométricas e equivalência de áreas.
(2017) Santos, Fabian Kosme Castello Branco; Carneiro, Luiz Gustavo de Oliveira; Oliveira, Monique Rafaella Anunciação de; Carneiro, Luiz Gustavo de Oliveira; Oliveira, Monique Rafaella Anunciação de; Pimentel, Felipe Rogério; Bretas, Jane Lage
Este trabalho tem na Geometria o seu principal fundamento com o intuito de contribuir no processo de ensino-aprendizagem da Matemática. Nele apresentaremos uma síntese do desenvolvimento da Geometria desde seu possível surgimento até os dias atuais, onde nossa ênfase maior dar-se-á no processo conhecido como equivalência de áreas e como ele era usado para o cálculo de áreas de figuras planas. Sendo assim, construiremos, com base em proposições encontradas no livro Elementos de Euclides, todo o processo para a quadratura de regiões poligonais. Apresentaremos uma série de exemplos a serem aplicados usando os recursos do GeoGebra que poderão contribuir para dinamizar o processo de aprendizagem do conteúdo envolvendo equivalência de áreas de figuras planas.
Construções geométricas e padrões islâmicos.
(2018) Fialho, Rodnei Eduardo; Carneiro, Luiz Gustavo de Oliveira; Carneiro, Luiz Gustavo de Oliveira; Leme, Leandro Correia Paes; Chaves, Marcio Fialho; Xavier, Sebastião Martins
Este trabalho é o início da produção de um material didático com foco em construções geométricas de padrões islâmicos utilizando régua não graduada e compasso. Nesse material didático tratou-se -se da parte histórica dos padrões geométricos islâmicos; de construções geométricas elementares como bissetrizes, mediatrizes retas perpendiculares e paralelas e de polígonos do triângulo ao decágono e por fim de construções de padrões islâmicos todos utilizando somente régua não graduada e compasso. Todos as construções apresentadas nesse trabalho foram feitas com o auxílio do programa Geogebra.
O Crivo de Brun para primos gêmeos.
(2021) Costa, Giovanne Drumond; Ribas, Sávio; Ribas, Sávio; Moriya, Bhavinkumar Kishor Sinh; Dias, Juliano Soares Amaral
Um número primo p é dito primo gêmeo se p+2 também é primo. Conjectura-se que existem infinitos primos gêmeos. O objetivo dessa dissertação é mostrar que a soma dos inversos dos primos gêmeos converge, enquanto a soma dos inversos de todos os primos diverge (também vamos provar isso usando a função zeta de Riemann). Tal fato pode implicar duas coisas: ou existem finitos primos gêmeos, ou os primos gêmeos são infinitos porém muito escassos na reta real. A técnica utilizada para demonstrar esse resultado é o crivo de Brun, que permite obter uma cota superior para o número de primos gêmeos até x. Para obter tais cotas, é necessário apresentar diversos resultados anteriores, como o princípio da inclusãoexclusão, as funções multiplicativas (em particular, a função de Möbius), as duas primeiras fórmulas de Mertens e o Teorema de Chebyshev. Vamos apresentar também uma caracterização dos primos gêmeos devida a Clement. A cota superior obtida implica diretamente o principal resultado dessa dissertação: a soma dos inversos dos primos gêmeos converge.
Curvas planas de largura constante : Teorema de Barbier e a função sombra.
(2018) Criste, Marília Gomes; Souza, Gil Fidelix de; Ferreira, Geraldo César Gonçalves; Souza, Gil Fidelix de; Ferreira, Geraldo César Gonçalves; Veloso, Marcelo Oliveira; Martins, Eder Marinho
Já imaginou uma bicicleta cujas rodas não tivessem o formato de um círculo? Neste trabalho estudaremos os conjuntos convexos, mais especificamente conjuntos que possuem a mesma característica do círculo, largura constante. Mostraremos que existem diversas curvas que podem substituir o círculo em algumas situações, por exemplo, em uma roda de bicicleta. Os conjuntos de largura constante estão presentes em várias áreas da engenharia, na arquitetura e no designer de diversos produtos. O Triângulo de Reuleuax é o mais comum desses, um exemplo de sua aplicação é uma broca que gera um “furo quadrado”. Ao longo do trabalho demonstraremos, de duas formas diferentes, o Teorema de Barbier o qual afirma que todo conjunto de largura constante m tem perímetro pm, e veremos que a área destes conjuntos será sempre maior que a do Triângulo de Reuleaux e menor que a do círculo. Buscamos conhecer o formato dos conjuntos convexos através da sombra gerada por eles. A sombra, aqui considerada, é gerada por um foco de luz, distante o suficiente para que os raios de luz viajem na mesma direção. Baseamo-nos nas ideias de Charles L. Epstein [10] sobre reconstrução de imagens médicas, como no raio X, que nada mais é do que a reconstrução de um objeto através da sombra gerada por ele. O objetivo principal deste trabalho é chegar à função sombra e verificar se podemos utilizá-la para reconstruir o objeto que a gerou. Algo nada intuitivo é mostrar que curvas de largura constante determinam funções sombra diferentes, mas que na reconstrução não determinam exatamente a mesma curva de origem. Para isso conceitos importantes da Geometria Diferencial, como a parametrização e a curvatura de curvas planas, serviram de base para os estudos deste trabalho.
Demonstrações no ensino médio.
(2018) Sena, Christiano Otávio de Rezende; Oliveira, Edney Augusto Jesus de; Dias, Juliano Soares Amaral; Oliveira, Edney Augusto Jesus de; Rocha, Alexandre Alvarenga; Moreira, Marcelo Henrique Simões
Esse trabalho é um estudo sobre as demonstrações de teoremas presentes no currículo do Ensino Médio. Revisamos os fundamentos da lógica matemática necessários para a construção de uma demonstração, bem como apresentamos alguns métodos utilizados. Além disso, fazemos um fichamento das demonstrações realizadas em três coleções de livros didáticos e finalizamos o trabalho com a apresentação de alguns teoremas tratados no Ensino Médio com suas respectivas demonstrações.
O ensino híbrido como metodologia do ensino na matemática - geometria espacial - pirâmides regulares.
(2018) Silva, Danielle Angelica da Luz e; Santos, Thiago Fontes; Santos, Thiago Fontes; Xavier, Sebastião Martins; Cuzzuol, Gilberto Duarte; Ferreira, Wenderson Marques
Esse trabalho trata do Ensino Híbrido, uma metodologia de ensino que comunga o ensino tradicional à tecnologia digital diversificada em vários modelos. Como área de estudo, escolhemos a Geometria Espacial, especificamente Pirâmides regulares. Incluímos um Breve Histórico do Ensino da Matemáatica no Brasil entre os séculos XIX e XXI de modo a situar em qual contexto o mesmo se encontra. Apresentaremos um relato de experiência da aplicação do Ensino Híbrido – Modelo Rotacional em uma turma do Ensino Médio.
A equação de Pitágoras módulo primo.
(2021) Silva, Denise Ramos da; Ribas, Sávio; Ribas, Sávio; Reis, Lucas da Silva; Oliveira, Edney Augusto Jesus de
As triplas de números inteiros positivos (x, y, z) que satisfazem a equação de Pitágoras x 2 + y 2 = z 2 são chamadas de triplas pitagóricas. Por outro lado, para n ≥ 3, a equação x n + y n = z n é conhecida como equação de Fermat. Nessa dissertação, vamos descrever todas as triplas pitagóricas e mostrar que a equação de Fermat com n = 4 não tem solução. Contudo, o objetivo principal desse trabalho é calcular o número de soluções da equação de Pitágoras módulo um primo p, isto é, x 2 + y 2 ≡ z 2 (mod p). Vamos provar que, embora tomando caminhos distintos para os casos p = 2, p ≡ 1 (mod 4) e p ≡ 3 (mod 4), o número de soluções é sempre p 2 . O principal argumento usado é o símbolo de Legendre. Para isso, vamos obter diversas reduções que simplificam o problema. Vamos também discutir alguns problemas relacionados e mostrar como nossa solução pode ser generalizada.
Equações algébricas : estudos e sala de aula.
(2017) Souza, Renato Carneiro de; Ferreira, Jamil; Ferreira, Jamil; Bayer, Valmecir Antônio dos Santos; Couto, Rodrigo Geraldo do
Neste trabalho, escolhemos um tema relevante do conteúdo do Ensino Médio, a saber, Equações Algébricas. Não só trabalhamos do ponto de vista teórico, revisitando e aprofundando o conteúdo estudado no PROFMAT, mas também do ponto de vista didático, através de uma pesquisa bibliográfica de textos que julgamos inovadores para a prática docente. Com esses propósitos, cada capítulo foi subdividido em uma seção teórica e uma seção didática, denominada “Em sala de aula”, onde apresentamos uma proposta de abordagem do conteúdo, fruto de nossa pesquisa bibliográfica aliada aos mais de vinte anos de docência do autor. O conteúdo teórico, por sua vez, abordou em que medida os resultados tradicionalmente trabalhados para os subcorpos dos complexos se estendem para corpos finitos. Estudamos também detalhadamente uma demonstração rigorosa, porém, com ferramentas matemáticas elementares, do Teorema Fundamental da Álgebra, devida ao matemático brasileiro Oswaldo Rio Branco de Oliveira, da Universidade de São Paulo, publicada em “Mathematical Intelligencer [8]”.
Equações de Diferenças lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e crescimento populacional de plantas anuais.
(2017) Figueiredo, Geraldo Cesar; Martins, Eder Marinho; Ferreira, Wanderson Marques; Martins, Eder Marinho; Ferreira, Geraldo César Gonçalves; Oliveira, Monique Rafaela Anunciação de; Avila, Jorge Andrés Julca
Abordamos, neste trabalho, o estudo das equações de diferenças lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. São estudados o caso homogêneo e alguns casos de equações não homogêneas. Objetivando uma melhor compreensão do que são tais equações é apresentada uma situação problema que envolve Geometria Euclidiana Plana. Acreditamos que tal abordagem possa ser trabalhada com alunos de Ensino Médio. No desenvolvimento do trabalho são apresentados resultados que possibilitam escrever a solução geral das equações estudas. Uma aplicação à Biologia também é apresentada: crescimento populacional de plantas anuais. Simulações dessa aplicação são apresentadas utilizando-se o software Excel.
Um estudo de aritmética modular para a educação básica.
(2018) Lage, Francisca Daniella Andreu Simões Moraes; Santos, Thiago Fontes; Xavier, Sebastião Martins; Santos, Thiago Fontes; Xavier, Sebastião Martins; Cuzzuol, Gilberto Duarte; Couto, Rodrigo Geraldo do
Este estudo é voltado à aritmética modular e pretende ser uma contribuição para o trabalho de professores da Educação Básica. O mesmo tem início com uma fundamentação teórica, servindo de base para as aplicações desta área da matemática. Tais aplicações compõem o capítulo dois, atuando com congruência em código de barras, ISBN, cartões de crédito, CPF, além de relatar sobre o funcionamento da criptografia e do método RSA. Em sua última parte, o trabalho mostra atividades realizadas em sala de aula. O intuito é de que elas sirvam como ferramentas a serem usadas e adaptadas por professores, já que as mesmas quase não aparecem em livros didáticos.
Um estudo sobre a pavimentação do plano euclidiano.
(2019) Soares, Henrique de Oliveira; Santos, Thiago Fontes; Xavier, Sebastião Martins; Santos, Thiago Fontes; Xavier, Sebastião Martins; Moreira, Jussara de Matos; Couto, Rodrigo Geraldo do
O objetivo deste trabalho é demonstrar o seguinte teorema: "Dados α e β números reais positivos é impossível pavimentar o plano com qualquer coleção de polígonos convexos, cada polígono com 7 ou mais lados e área maior que α e perímetro menor que β". Para isso, precisaremos apresentar alguns conceitos básicos sobre os polígonos e as possíveis pavimentações do plano Euclidiano. Utilizaremos também a desigualdade isoperimétrica como uma ferramenta para demonstrar esse teorema. Estudaremos os diferentes tipos de pavimentação do plano, apresentaremos os conceitos de pavimentação ideal e parcial, iremos mostrar que apenas 3 polígonos regulares pavimentam o plano, estudaremos um pouco sobre os polígonos não regulares que pavimentam o plano e mostraremos algumas curiosidades sobre eles. A teoria envolvida no estudo sobre a pavimentação do plano é muito rica e contribuirá enormemente para a visão e a consolidação de conceitos geométricos. Utilizaremos alguns conceitos de cálculo diferencial afim de compreender e demonstrar o principal teorema, posteriormente utilizaremos desse teorema para demonstrar aspectos da pavimentação do plano. Ao final, iremos propor uma atividade com o intuito de relembrar conceitos geométricos e fornecer curiosidades relacionadas à pavimentação do plano.
Fórmula de Euller e aplicações.
(2022) Souza, Sérgio Costa e; Figueiredo, Geraldo Cesar; Souza, Gil Fidelix de; Figueiredo, Geraldo Cesar; Souza, Gil Fidelix de; Martins, Eder Marinho; Muniz Junior, Justino; Almeida, Vitor Luiz de
Neste trabalho estudaremos a Formula de Euler sob a luz da Teoria dos Grafos e apresentaremos algumas de suas aplicações. A teoria de grafos simplifica os cálculos e, aliada a conceitos básicos de aritmética nos permite obter resultados interessantes como consequência da formula de Euler, dentre eles estão: O Teorema de Sylvester-Gallai, a existência de linhas monocromáticas e o Teorema de Pick.
Geometria elíptica e aplicações.
(2017) Moreira, Marcelo Henrique Simões; Oliveira, Edney Augusto Jesus de; Oliveira, Edney Augusto Jesus de; Souza, Gil Fidelix de; Silva, Gheyza Ferreira da
Esse trabalho faz uma construção das geometrias: elíptica dupla, projetiva e afim. Também apresenta aplicações das mesmas como um modelo para o movimento da superfície terrestre e na identificação de cônicas. Além disso, possui uma utilização de cada uma dessas aplicações no ensino médio como meio de motivar os alunos no estudo de geometrias não euclidianas.
A integral de Rieman generalizada.
(2019) Santos, Wagner Luiz Moreira dos; Xavier, Sebastião Martins; Santos, Thiago Fontes; Xavier, Sebastião Martins; Santos, Thiago Fontes; Moreira, Jussara de Matos; Couto, Rodrigo Geraldo do
Neste trabalho apresentaremos uma breve introdução sobre a história da evolução no conceito de integral e resultados importantes sobre a Teoria de Integração. Introduziremos a definição formal do conceito de Integral, segundo Riemann e suas propriedades, além da definição de funções Riemann Integráveis. Posteriormente, mostraremos a definição e propriedades da integral de Darboux, extendendo, essa ideia ao critério de integrabilidade de Lebesgue e finalizando com o conceito de de integral generalizada de Riemann. Neste trabalho apresentaremos integral de Riemann generalizada que nos permitirá, de forma alternativa a usual, abordar o conceito de integral de Lebesgue. Nesta apresentação não necessitamos da construção da teoria de medida, ou seja, trata-se de uma abordagem diferente daquela que se estuda nos cursos de cálculo e análise.

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